آموزش رابطه ی فیثاغورس

معادله فیثاغورس

مقصود از معادله فیثاغورس معادله متجانس درجه دوم  x²+y²=z² است.

حل این معادله مفتاح حل معادلات سیاله متعدد دیگر است.و بعلاوه متضمن نكات و تدابیری هم هست كه در مورد بسیاری از معادلات سیاله دیگر نیز به كار می رود.

استاد بزرگ ریاضی ایران مرحوم دكتر غلامحسین مصاحب در كتاب های تئوری مقدماتی اعداد و در فصلی جداگانه و كاملا مفصل پس از مقدمه ای كه بخشی از آن آورده شد.  معادله فیثاغورس را از جنبه های مختلف "هندسی، تاریخی"به بحث می گذارد   و بعد در نهایت زیبایی به تعریف اصطلاحاتی چون "جوابهای بیمایه، جواب های مثبت ،تقارن و جواب های اولیه" می پردازد و سپس قضایای گوناگونی را مطرح و اثبات می نماید.وبالاخره :

جمیع جوابهای معادله فیثاغورس را  این گونه بیان می كند.

  (z=t(m²+n²      و       y=2tmn    و   (x=t(m²-n²

"به ازای مقادیر طبیعی پارامترهای m و n  كه  m>n  و جمیع مقادیر طبیعی پارامتر t   وn)=1 وm)

به عنوان مثال به ازای m=2  و n=5 و t=1   داریم

       Z=1(5²+2²)=25+4=29          و  Y=2(5)(2)=20                     وX=1(5²-2²)=25-4=21

و این عددها از جواب های طبیعی معادله فبثاغورس هستند.             21²+20²=29²

اما من می خواهم این پرسش را مطرح كنم كه:

برای عدد مفروض x چگونه می توان همه زوج های طبیعی y   و z  را پیدا كرد كه در معادله فیثاغورس صدق كنند؟   x²+y²=z²

به عبارتی دیگر چگونه دوعدد طبیعی دیگر بیابیم كه همراه با عدد مثلا ۲۰ در معادله فیثاغورس صدق كند؟و کامل تر آنکه چند زوج طبیعی وجود دارد که با عدد ۲۰ در رابطه فبثاغورس صدق می کنند؟

و اما پاسخ:

كافیست مقسوم علیه های مربع ۲۰ را به صورت حاصل ضرب های دو عدد طبیعی  بنویسیم.   

۲۰×20=25×16=40×10=50×8=80×5=100×4= 200×2=400×1=400=20²

از این زوج ها آنهایی كه از لحاظ زوجیت مشابه نباشند و یا با یكدیگر مساوی باشند را حذف می كنیم. بنا براین در این مثال زوج (20 و 20) و نیز زوج های( 1 و 400 ) و (5 و 80) و (25 و 16) حذف می شود.

و آنچه می ماند قابل استفاده اند.

(۴۰ و ۱۰)   و   (۵۰ و ۸)   و   (۱۰۰ و ۴)   و   (۲۰۰ و ۲)

كافیست نصف مجموع و نصف اختلاف هر دو عدد را حساب كنیم.

بنا بر این  با استفاده از دو عدد 2 و 200 داریم .

         101=2÷(2+200)       و    99=2÷(2-200)y=      x=۲۰

و  20²+99²=101²

400+9801=10201

با استفاده از دو عدد 4 و 100 داریم .

         52=2÷(4+100)       و    48=2÷(4-100)y=      x=۲۰

و  20²+48²=52²

400+2304=2704

با استفاده از دو عدد 4 و 100 داریم .

         29=2÷(8+50)       و    21=2÷(8-50)y=      x=۲۰

و  20²+21²=29²

400+441=841

با استفاده از دو عدد 10 و 40 داریم .

         25=2÷(10+40)       و    15=2÷(10-40)y=      x=۲۰

و  20²+15²=25²

400+225=625

در ضمن آن دسته از مقسوم علیه های مربع 20 را كه حذف كردیم هم در این مورد چندان غیر قابل استفاده نیستند.

كافی است  جواب های معادله فبثاغورس را به جای آنكه در مجموعه اعداد طبیعی محدود كنیم در مجموعه اعداد گویای نا منفی جستجو كنیم و به روش فوق عمل كنیم.